Một chứng minh phổ biến của quy tắc l'Hôpital là sử dụng định lý giá trị trung gian Cauchy. Chứng minh quy tắc l'Hôpital có một số điểm khác nhau trong các trường hợp khác nhau như: c và L hữu hạn hay vô hạn, ƒ và g hội tụ về 0 hay về vô cùng, giới hạn là một bên hay hai bên. Tuy nhiên, tất cả chúng đều dựa theo hai trường hợp chính sau:[3]

Không trên không

Giả sử c và L là các số thực và ƒ và g hội tụ về 0.

Trước hết, ta có ƒ(c) = g(c) = 0. Vì thế ƒ và g liên tục tại c, nhưng không thay đổi giới hạn (vì theo định nghĩa, giới hạn không phụ thuộc vào giá trị hàm tại điểm c). Vì lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} tồn tại nên có một khoảng (c − δ, c + δ) mà với mọi x thuộc khoảng, với trường hợp ngoại lệ x = c, cả f ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f'(x)} và g ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)} tồn tại và g ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)} khác 0.

Nếu x nằm trong khoảng (c, c + δ), thì theo định lý giá trị trung gian và định lý giá trị trung gian Cauchy đều áp dụng đúng với khoảng [c, x] (và tương tự trong trường hợp x thuộc khoảng (c − δ, c)). Định lý giá trị trung gian nói rằng g(x) khác 0 (vì nếu ngược lại thì tồn tại y trong khoảng (c, x) mà g'(y) = 0). Từ định lý giá trị trung gian Cauchy, ta suy ra có một ξx thuộc (c, x) thỏa mãn

f ( x ) g ( x ) = f ′ ( ξ x ) g ′ ( ξ x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}} .

Nếu x tiến đến c, thì ξx tiến tới c (theo nguyên lý kẹp). Do lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} tồn tại, suy ra

lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( ξ x ) g ′ ( ξ x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} .

Vô cùng trên vô cùng

Giả sử L là một số hữu hạn, c là một số hữu hạn dương, ƒ và g hội tụ về dương vô cực.

Với mọi ε > 0, tồn tại một số m sao cho

| f ′ ( x ) g ′ ( x ) − L | < ε {\displaystyle \left|{\frac {f'(x)}{g'(x)}}-L\right|<\varepsilon } (với x ≥ m {\displaystyle x\geq m} ).

Theo định lý giá trị trung gian, nếu x > m, thì g(x) ≠ g(m) (vì nếu ngược lại thì tồn tại y trong khoảng (m, x) sao cho g ′ ( y ) = 0 {\displaystyle g'(y)=0} ). Áp dụng định lý giá trị trung gian Cauchy cho khoảng [m, x], ta có

| f ( x ) − f ( m ) g ( x ) − g ( m ) − L | < ε {\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}-L\right|<\varepsilon } (với x > m {\displaystyle x>m} ).

Vì ƒ hội tụ về dương vô cực nên nếu x đủ lớn, ta có ƒ(x) ≠ ƒ(m). Viết

f ( x ) g ( x ) = f ( x ) − f ( m ) g ( x ) − g ( m ) ⋅ f ( x ) f ( x ) − f ( m ) ⋅ g ( x ) − g ( m ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\cdot {\frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}\cdot {\frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}} .

Khi đó,

| f ( x ) − f ( m ) g ( x ) − g ( m ) ⋅ f ( x ) f ( x ) − f ( m ) ⋅ g ( x ) − g ( m ) g ( x ) − f ( x ) − f ( m ) g ( x ) − g ( m ) | ≤ | f ( x ) − f ( m ) g ( x ) − g ( m ) | | f ( x ) f ( x ) − f ( m ) ⋅ g ( x ) − g ( m ) g ( x ) − 1 | < ( | L | + ε ) | f ( x ) f ( x ) − f ( m ) ⋅ g ( x ) − g ( m ) g ( x ) − 1 | {\displaystyle {\begin{aligned}&\left|{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\cdot {\frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}\cdot {\frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}-{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\right|\\&\quad \leq \left|{\frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}\right|\left|{\frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}\cdot {\frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}-1\right|\\&\quad <(|L|+\varepsilon )\left|{\frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}\cdot {\frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}-1\right|\end{aligned}}} .

Với x đủ lớn, cái này nhỏ hơn ε và do đó

| f ( x ) g ( x ) − L | < 2 ε {\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-L\right|<2\varepsilon } . *

• (*) Chú ý: Có một số bước bị bỏ qua.